导数

标量求导和向量求导是矩阵求导的特殊情况。向量求导使用的频率较高。对向量求导时运用乘法和除法公式时会出现标量求导，这里记录一下各种求导的结果。

以向量为\(\vec x\)（m维向量），\(\vec t\)（n维向量），标量为\(t\)为例。

对标量求导

向量对标量求导

结果是向量的每一个元素对标量求导组成的列向量： \[ \frac{\partial \vec x}{\partial t}= \begin{bmatrix} \frac{d x_1}{d t},\\...\\\frac{d x_m}{d t} \end{bmatrix}. \] ## 对向量求导 ### 标量对向量求导 可以看做是多元函数对多变量的求导，因此结果是梯度，是标量对向量的每一个元素求导组成的行向量： \[ \frac{\partial t}{\partial \vec x}=\begin{bmatrix} \frac{d t}{d x_1}&...&\frac{d t}{d x_m} \end{bmatrix}. \]

向量对向量求导

结果是雅克比（Jacobi）矩阵。

\[ \frac{\partial \vec x}{\partial \vec t}= \begin{bmatrix} \frac{d x_1}{d t_1},&\frac{d x_2}{d t_1}&...&\frac{d x_{n-1}}{d t_1}&\frac{d x_m}{d t_1}\\ \frac{d x_1}{d t_2},&\frac{d x_2}{d t_2}&...&\frac{d x_{n-1}}{d t_2}&\frac{d x_m}{d t_2}\\ &&...\\ &&...\\ \frac{d x_1}{d t_{n}},&\frac{d x_2}{d t_{n}}&...&\frac{d x_{n-1}}{d t_{n}}&\frac{d x_m}{d t_{n}}\\ \end{bmatrix}. \] 大部分常见公式可以查matrixcookbook。

还有一种使用爱因斯坦求和约定来计算的方法里奇微积分。使用这个网站可以计算：matrixcalculus。

本文参考链接：蓦风星吟​的回答:向量函数的求导问题？