张量

对于三维空间中的各向同性材料，弹性模量张量（Elastic Modulus Tensor）可以视为一个\(3 \times 3\)矩阵，其中每个元素本身又是一个 \(3 \times 3\) 的矩阵。这样的表示反映了张量的四阶本质，即它有四个索引。

在这种表示下，张量的每个元素 \(C_{ijkl}\)表示当在 kl 方向上施加应力时，材料在 ij 方向上的应变响应。对于各向同性材料，这个张量可以通过两个Lamé常数 \(\lambda\) 和 \(\mu\) 来定义，其定义如下：

\[ C_{ijkl} = \lambda \delta_{ij} \delta_{kl} + \mu (\delta_{ik} \delta_{jl} + \delta_{il} \delta_{jk}) \]

其中 \(\delta\) 是Kronecker delta函数。

下面是弹性模量张量的具体展开形式，其中每个元素 \(C_{ijkl}\)根据上述公式计算：

\[\begin{bmatrix} \begin{bmatrix} C_{1111} & C_{1122} & C_{1133} \\ C_{1211} & C_{1212} & C_{1213} \\ C_{1311} & C_{1312} & C_{1313} \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} C_{1121} & C_{1122} & C_{1123} \\ C_{1221} & C_{1222} & C_{1223} \\ C_{1321} & C_{1322} & C_{1323} \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} C_{1131} & C_{1132} & C_{1133} \\ C_{1231} & C_{1232} & C_{1233} \\ C_{1331} & C_{1332} & C_{1333} \\ \end{bmatrix} \\ \begin{bmatrix} C_{2111} & C_{2112} & C_{2113} \\ C_{2211} & C_{2212} & C_{2213} \\ C_{2311} & C_{2312} & C_{2313} \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} C_{2121} & C_{2122} & C_{2123} \\ C_{2221} & C_{2222} & C_{2223} \\ C_{2321} & C_{2322} & C_{2323} \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} C_{2131} & C_{2132} & C_{2133} \\ C_{2231} & C_{2232} & C_{2233} \\ C_{2331} & C_{2332} & C_{2333} \\ \end{bmatrix} \\ \begin{bmatrix} C_{3111} & C_{3112} & C_{3113} \\ C_{3211} & C_{3212} & C_{3213} \\ C_{3311} & C_{3312} & C_{3313} \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} C_{3121} & C_{3122} & C_{3123} \\ C_{3221} & C_{3222} & C_{3223} \\ C_{3321} & C_{3322} & C_{3323} \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} C_{3131} & C_{3132} & C_{3133} \\ C_{3231} & C_{3232} & C_{3233} \\ C_{3331} & C_{3332} & C_{3333} \\ \end{bmatrix} \end{bmatrix}\]

这里的ijkl索引里，i可以看做是大的3x3矩阵的行，j可以看做是小的3x3矩阵的行，k可以看做是大的3x3矩阵的列，l可以看做是小的3x3矩阵的列。