介绍

该文章中的c++代码参考了ipc-toolkit的实现。

点到三角形的距离可以用如下定义：

\[ \begin{aligned} \text{distance}(\vec{\mathbf{x_p}}, \vec{\mathbf{x_t}_1}, \vec{\mathbf{x_t}_2}, \vec{\mathbf{x_t}_3}) &= \min_{\beta_1, \beta_2} \left\| \vec{\mathbf{x_p}} - ( \vec{\mathbf{x_t}_1} + \beta_1 (\vec{\mathbf{x_t}_2} - \vec{\mathbf{x_t}_1}) + \beta_2 (\vec{\mathbf{x_t}_3} - \vec{\mathbf{x_t}_1}) ) \right\| \\&s.t. \beta_1 \geq 0, \beta_2 \geq 0, \beta_1 + \beta_2 \leq 1 \end{aligned} \]

这是一个分断连续的函数，实际计算时可以根据点和三角形的位置关系分以下几种情况讨论，首先要将点投影到三角形所在的平面上：

1. 投影后，点在三角形内部，此时距离为点到三角形所在平面的距离。
2. 投影后，点在三角形的某个边朝外的半平面且投影在边上的点在边上，此时距离为点到边的距离。
3. 其他情况，此时距离为点到三角形的三个顶点的最小距离。

介绍

在进行软体模拟时，如果使用牛顿法计算最优的下降方向，需要计算能量密度函数\(\Psi\)关于位置\(\vec {\mathbf{x}}\) 的Hessian矩阵，即\(\frac{\partial^2 \Psi}{\partial \vec {\mathbf{x}}^2}\)。其中\(\vec {\mathbf{x}}\)是一个四面体的四个顶点的位置。因为：

\[ \begin{aligned} \frac{\partial^2 \Psi}{\partial \vec {\mathbf{x}}^2} &= \frac{\partial}{\partial \vec {\mathbf{x}}} \left(\frac{\partial \Psi}{\partial \vec {\mathbf{x}}}\right) \\ &= \frac{\partial}{\partial \vec {\mathbf{x}}} \left(\frac{\partial \Psi}{\partial F}:\frac{\partial F}{\partial \vec {\mathbf{x}}}\right) \\ &= \frac{\partial}{\partial \vec {\mathbf{x}}} \left(\frac{\partial \Psi}{\partial F}\right):\frac{\partial F}{\partial \vec {\mathbf{x}}} + \frac{\partial \Psi}{\partial F}:\frac{\partial^2 F}{\partial \vec {\mathbf{x}}^2}\\ &=\frac{\partial}{\partial \vec {\mathbf{x}}} \left(P\right):\frac{\partial F}{\partial \vec {\mathbf{x}}}\\ &=(\frac{\partial F}{\partial \vec {\mathbf{x}}}: \frac{\partial P}{\partial F}):\frac{\partial F}{\partial \vec {\mathbf{x}}} \end{aligned} \]

证明

首先，已知

\[ \vec {\mathbf{x}} = \begin{bmatrix} \vec x_1 & \vec x_2 & \vec x_3 \end{bmatrix}\\ D_s = \begin{bmatrix} \vec x_1-\vec x_4 & \vec x_2-\vec x_4 & \vec x_3-\vec x_4 \end{bmatrix}\\ \begin{aligned} &\frac{\partial (D_s)_{kl}}{\partial \vec {\mathbf{x}_{ij}}} e_i\otimes e_j\otimes e_k\otimes e_l\\ &=\frac{\partial \vec {\mathbf{x}}_{kl}}{\partial \vec {\mathbf{x}}_{ij}} e_i\otimes e_j\otimes e_k\otimes e_l\\ &= \delta_{ik}\delta_{jl} e_i\otimes e_j\otimes e_k\otimes e_l \end{aligned} \] \(D_m^{-1}\)的分量表示为\(d_{mn}\)，\(P\)的分量表示为\(P_{rs}\)，则能量密度函数\(\Psi\)关于位置\(\vec {\mathbf{x}}\) 的梯度为：

介绍

Projective Dynamics是一种用于软体模拟的方法，算法分为local step和global step两个部分。其中local step可以对于每个四面体约束并行计算，global step只需要求解一个线性方程组，而他的矩阵非常特殊，是一个Gram矩阵，因此可以预先用Cholesky分解。本文主要介绍local step的实现的推导过程。用Corotated strain model的CUDA的实现作为例子。

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