Point triangle distance

介绍

该文章中的c++代码参考了ipc-toolkit的实现。

点到三角形的距离可以用如下定义：

$$\begin{aligned} \text{distance}(\vec{\mathbf{x_p}}, \vec{\mathbf{x_t}_1}, \vec{\mathbf{x_t}_2}, \vec{\mathbf{x_t}_3}) &= \min_{\beta_1, \beta_2} \left\| \vec{\mathbf{x_p}} - ( \vec{\mathbf{x_t}_1} + \beta_1 (\vec{\mathbf{x_t}_2} - \vec{\mathbf{x_t}_1}) + \beta_2 (\vec{\mathbf{x_t}_3} - \vec{\mathbf{x_t}_1}) ) \right\| \\&s.t. \beta_1 \geq 0, \beta_2 \geq 0, \beta_1 + \beta_2 \leq 1 \end{aligned}$$

这是一个分断连续的函数，实际计算时可以根据点和三角形的位置关系分以下几种情况讨论，首先要将点投影到三角形所在的平面上：

1. 投影后，点在三角形内部，此时距离为点到三角形所在平面的距离。
2. 投影后，点在三角形的某个边朝外的半平面且投影在边上的点在边上，此时距离为点到边的距离。
3. 其他情况，此时距离为点到三角形的三个顶点的最小距离。