介绍

在进行软体模拟时，如果使用牛顿法计算最优的下降方向，需要计算能量密度函数$\Psi$关于位置$\vec {\mathbf{x}}$ 的Hessian矩阵，即$\frac{\partial^2 \Psi}{\partial \vec {\mathbf{x}}^2}$。其中$\vec {\mathbf{x}}$是一个四面体的四个顶点的位置。

$$\begin{equation} \frac{\partial^2 \Psi}{\partial {\mathbf{x}^2}} = \text{vec}(\frac{\partial F}{\partial {\mathbf{x}}})^T \text{vec}(\frac{\partial P}{\partial F}) \text{vec}(\frac{\partial F}{\partial {\mathbf{x}}}) \end{equation}$$

证明1

首先，已知

$$\vec {\mathbf{x}} = \begin{bmatrix} \vec x_1 & \vec x_2 & \vec x_3 \end{bmatrix}\\ D_s = \begin{bmatrix} \vec x_1-\vec x_4 & \vec x_2-\vec x_4 & \vec x_3-\vec x_4 \end{bmatrix}\\ \begin{aligned} &\frac{\partial (D_s)_{kl}}{\partial \vec {\mathbf{x}_{ij}}} e_i\otimes e_j\otimes e_k\otimes e_l\\ &=\frac{\partial \vec {\mathbf{x}}_{kl}}{\partial \vec {\mathbf{x}}_{ij}} e_i\otimes e_j\otimes e_k\otimes e_l\\ &= \delta_{ik}\delta_{jl} e_i\otimes e_j\otimes e_k\otimes e_l \end{aligned}$$ 这里把$\vec {\mathbf{x}}$后三列写成一个3x3的矩阵。$D_m^{-1}$的分量表示为$d_{mn}$，$P$的分量表示为$P_{rs}$，则能量密度函数$\Psi$关于位置$\vec {\mathbf{x}}$ 的梯度为：

介绍

Projective Dynamics是一种用于软体模拟的方法，算法分为local step和global step两个部分。其中local step可以对于每个四面体约束并行计算，global step只需要求解一个线性方程组，而他的矩阵非常特殊，是一个Gram矩阵，因此可以预先用Cholesky分解。本文主要介绍local step的实现的推导过程。用Corotated strain model的CUDA的实现作为例子。